Kapitel 1 – Trigonometri
Trigonometri i Matte 4 handlar mycket om olika samband mellan sinus och cosinus. Många av dessa bygger på varandra, men grunden ligger i enhetscirkeln. Man brukar inte behöva bevisa dessa samband, utan många uppgifter handlar snarare om att skriva om ekvationssystem med hjälp av dessa samband. Det enklaste sättet att lära sig använda dessa är att göra relaterade uppgifter.
Använd navigeringen för att hoppa till en underrubrik. Om du endast vill repetera kunskaper kan du skippa drop-down-menyerna (exempelvis)
Navigering:
• Trigonometriska samband
• Grundekvationer
• Trigonometri och Algebra
• Bevismetoder
Trigonometriska samband
1. Den Trigonometriska ettan – En av de viktigaste sambanden i Matte 4:
1= sin2(x) + cos2(x)
2. Additions- och subtraktionsformlerna.
sin(v+u) = sin(v)cos(u) + cos(v)sin(u)
sin(v-u) = sin(v)cos(u) – cos(v)sin(u)
cos(v+u) = cos(v)cos(u) – sin(v)sin(u)
cos(v-u) = cos(v)cos(u) + sin(v)sin(u)
3. Formler för dubbla vinkeln. (cosinus har flera svar).
sin(2v) = 2sin(v)cos(v)
Grundekvationer
Som du kanske minns från Matte 3 finns det ofta flera lösningar till sinus, cosinus och tangens. Sin (x) = sin (180-x) och cos (x) = cos(-x). Dessutom kan man lägga på varv (360°) på en vinkel och fortfarande få samma resultat. Tex. är sin(v) = sin(360 + v).
Detta betyder att lösningar för en trigonometrisk funktion måste ta med dessa extra lösningar och varv (perioder) för att vara matematiskt korrekta.
Storleken på en period kan även förändras beroende på vilken koefficient som står framför “x”. Exempel Exempel 2: Exempel 3: Tillägget av n*x° görs alltid efter sinus-/cosinus-funktionerna har lösts ut. Samma procedur gäller när man räknar med cosinus då cos(x) = cos(-x).
sin (x) = 0.5
x1 = 30° + n*360° ← Här lägger man till perioden “n*360°”
x2 = 150° + n*360° ← x2 eftersom att sin (x) = sin (180-x)
sin (2x) = 0.5
2x = 30° + n* 360° OCH 2x = 150° + n*360°
x1 = 15° + n* 180° ← ÷2 för att lösa ut “x”. Detta gäller också för perioden.
x2 = 75° + n*180°
sin (2x + 6) = 0.5
2x + 6 = 30° + n*360° OCH 2x + 6 = 150° + n*360°
x1 = 12° + n*180°
x2 = 72° + n*180°
Trigonometri och Algebra
Alla geometriska formler kan omskrivas till variabler som x, y och z. Detta innebär att nollproduktsmetoden och Pq-formeln även gäller för cos, sin och tan.
Exempel Nollproduktsmetoden: Vilket kan skrivas om till: Pq-formeln:
cos2 (v) + 0.5cos (v) = 0
x2 + 0.5x = 0 ← x = cos(v)
x(x+0.5) = 0
x1 = 0, x2 = -0.5
cos(v) = 0 och cos (v) = -0.5 ger:
x1 = 90° + n*360°
x2 = -90° + n*360°
x3= -120° + n*360°
x4=120° + n*360°
x= 90° + n*180° och ← ( omskrivet från ±90° + n*360°)
x= ±120° + n*360°
cos2 (v) + 0.5cos (v) + 0.9375 = 0 ← x = cos(v)
x2 + 0.5x + 0.9375 = 0
(därefter Pq-formeln med samma slutmetod som nollproduktsmetoden)
Bevismetoder
Inte så jätteviktiga, för att lösa vanliga provuppgifter. Leta på google/youtube vid intresse :). Det finns:
• Direkt Bevis
• Indirekt bevis
• Motsägelsebevis