Kapitel 2 – Trigonometri och Grafer

Detta kapitel handlar främst om sinus, cosinus, och tangens i grafer, och hur man kan derivera olika trigonometriska funktioner. Formelbladet för matte 4 hittar du (Här).

Använd navigeringen för att hoppa till en underrubrik. Om du endast vill repetera kunskaper kan du skippa drop-down-menyerna (exempelvis)

Navigering:
• Från funktion till graf
• Mer trigonometriska samband
• Tangenskurvan
• Radianer och cirkelsektorer
• Derivatan av sinus och cosinus
• Kedjeregeln
• Tillämpningar

Från funktion till graf

Sinus- och cosinusfunktioner i grafer liknar vågor. Och dessa trigonometriska grafer kan även förändras.

Grafen för en sinuskurva = f(x) = A*sin(k(x+b)) + m

• A= Amplitud
• k = koefficient som bestämmer period (360°/k = period)
• b = förskjutning, (negativt tal = förskjutet åt höger, positivt tal = förskjutet åt vänster). (notera att förskjutningen är (b*k/k) pga att man vill lösa ut x. (se 1.1))
• m = konstant, bestämmer förskjutningen upp och ned, som i en vanlig linjär graf (y=kx + m).

Notera att sinuskurvan också kan skrivas: f(x) = A*sin(kx+b) + m, vilket innebär att förskjutningen är b/k. (man dividerar med k för att lösa ut x.)

Tangenskurvan

Tangenskurvan skiljer sig väldigt mycket på grund av att den innehåller en division (tan= sin/cos). Detta innebär att när cos(x) går mot 0 går tan(x) mot oändligheten, och blir till slut odefinierbart vid cos(x)=0.

Till skillnad från sinus och cosinus har tangenskurvan perioden 180°:

$\tan (x+180) =\frac{\sin (x+180)}{\cos (x+180)}=\frac{–\sin x}{– \cos x}= \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$

f(x) = tan(x)

Mer trigonometriska samband

Kurvan “f(x) = a sinx + b cosx” kan skrivas om till en sinuskurva (finns på formelsamlingen).

“a sinx + b cosx” kan skrivas om till “c*sin(x+v)”, där:

$$\begin{gathered} \mathrm{c} = \sqrt{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2} \\ \mathrm{och} \\ \tan \mathrm{v} = \frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}} \end{gathered}$$

Radianer och cirkelsektorer

I matte 4 introduceras ett nytt sätt på att mäta vinklar: radianer. Anledningen till att vi använder dessa är att de ibland är smidigare att använda än 360°-systemet.

Med radianer mäts 360° istället som 2π. Konversionen sker genom:

$$\begin{gathered} \mathrm{x}°=\frac{radianer}{grader} \\ Exempelvis: \\ 1 \mathrm{rad} = 1*\frac{360°}{2\mathrm{\pi }}\approx 57,3° \mathrm{och} 1° =1*\frac{2\mathrm{\pi }}{360°}\approx 0,01745 \mathrm{rad} \end{gathered}$$

Notera att: Miniräknaren måste ställas in på att räkna i antingen grader eller radianer. På Texas Instrument-miniräknare (84) görs detta genom knappen (MODE), därefter man väljer RADIAN eller DEGREE på skärmen.

Med hjälp av radianer kan man även ta fram nya förenklade formler för en cirkelsektors area (en tårtbit av en cirkel).

$$\begin{gathered} \mathrm{Cirkelbågens} \mathrm{längd}= \mathrm{vinkelns} \mathrm{andel} \mathrm{av} \mathrm{cirkeln} * \mathrm{cirkelns} \mathrm{omkrets}. \\ \mathrm{Tex}: \frac{90°}{360°}* 6 \mathrm{cm} =1.5 \mathrm{cm}. \\ \mathrm{Samma} \mathrm{gäller} \mathrm{vid} \mathrm{radianer}: \\ \frac{0.5\mathrm{\pi }}{2\mathrm{\pi }}* 6 \mathrm{cm} =1.5 \mathrm{cm}. \end{gathered}$$

Med dessa kan vi ta fram en förenklad formel för cirkelbågens area.

$$\begin{gathered} \mathrm{Cirkelbågens} \mathrm{längd} \left(\mathrm{b}\right): \mathrm{b}=\frac{\mathrm{v}}{2\mathrm{\pi }}·2\mathrm{\pi r} = \mathrm{v}·\mathrm{r} \\ \mathrm{Cirkelbågens} \mathrm{area}: \frac{\mathrm{v}}{2\mathrm{\pi }}·{\mathrm{\pi r}}^2 = \frac{\mathrm{v}·{\mathrm{r}}^2}{2} = \frac{\mathrm{b}·\mathrm{r}}{2} \end{gathered}$$

Derivatan av sinus och cosinus

När man räknar i radianer finns det ett mycket användbart samband mellan derivatan av sinus och cosinus.

f(x) = sin (x) → f'(x) = cos(x)
f(x) = cos (x) → f'(x) = -sin(x)

Kom ihåg att dessa endast gäller för radianer.

Videoförklaring på youtube hittar du (Här).

Kedjeregeln

Inom matte 4 förekommer någonting som kallas för “sammansatt funktion”, tex:
f(x) = (x+1)²
f(x) = sin(3x)
f(x) = cos²(3x)

Vissa av dessa går inte att dividera med någon känd regel. Därför använder vi en ny regel för derivering—Kedjeregeln. Kedjeregeln används för att derivera sammansatta funktioner, alltså funktioner som har en “yttre” och en “inre” funktion. Exempel

Regeln för att derivera dessa sammansatta funktioner “f(g(x))” är:

f'(x) = f'(g(x)) * g'(x)

Alltså derivatan på den yttre funktionen med den inre funktionen likadan, multiplicerat med derivatan av den inre funktionen. Exempel

Tillämpningar

Vad man behöver veta är att saker som cyklar, alltså tex. temperatur mot årstid eller tidvatten, kan skrivas som en sinus- eller cosinus-kurva, genom att ändra på vissa av värdena i sinusfunktionen. A-uppgifter gällande kedjeregeln är lite mer avancerade och är baserade på att kedjeregeln kan skrivas som:

$\mathrm{Kedjeregeln} = \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dg}}·\frac{\mathrm{dg}}{\mathrm{dx}}$

Videoförklaring om kedjeregeln på youtube (här). Mer om detta i kapitel 3.