Kapitel 3 – Derivata och Integraler

Detta kapitel (i NOKflex) handlar mycket om repetition på derivata och integraler från matte 3. Det kan vara en bra idé att skumma igenom den biten av matte 3 igen så att du är säker på att du kan allt du behöver kunna om derivata och integraler. Formelbladet för matte 4 hittar du (Här).
(grafer gjorda med Desmos)

Navigering:
• Derivatan av en produkt
• Tillämpningar på kedjeregeln
• Asymptoter
• Differentialekvationer
• Grafiska metoder för integraler
• Areor mellan kurvor
• Integraler och storheter
• Sannolikhetsfördelning
• Rotationsvolymer
• Några integralregler

Derivatan av en produkt

Till skillnad från funktioner med addition som kan deriveras “term för term” måste derivatan av produkter tas fram på ett annat sätt.

y = f(x) + g(x) –> y‘ = f ‘(x) + g ‘(x)

y = f(x) • g(x) –> y‘ = f (x) • g ‘(x) + f ‘(x) • g(x)

derivatan av en kvot kan deriveras på liknande sätt eftersom att division kan skrivas om till multiplikation.

$y=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=f\left(x\right) · ( g{\left(x\right) )}^{–1}$

Problemet är att det är krångligt att derivera negativa exponenter, så man har skrivit om regeln till:

$y=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)} \to y‘ =\frac{f‘\left(x\right) · g\left(x\right) – f\left(x\right) · g‘\left(x\right)}{( g{\left(x\right) )}^2}$

(Kom ihåg att ordningen av f'(x) och g(x) är omvänd från derivatan av en produkt)

Tillämpningar på Kedjeregeln

En omskrivning på kedjeregeln är:

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}·\frac{dt}{dx}$

Detta är väldigt användbart eftersom att det tillåter oss att räkna ut en förändringshastighet med hjälp av två andra. Applikationer av detta finns garanterat i din mattebok.

Det viktigaste du ska känna till för att lösa sådana uppgifter är att:
1. Vad dy/dx eller dy/dt innebär. (dy/dx= derivatan av y(x), där y(x) är y skrivet i x, ex. y=5x+3)
2. dy/dx eller dy/dt är samma sak som y‘(x) respektive y‘(t)
3. Att du tack vare sambandet ovan kan ta fram dy/dx genom att derivera y(x) (eller dy/dt och dt/dx genom att derivera rätt funktion, y(t) och t(x)).

Asymptoter

Definitionen för en asymptot är att det är en rät linje som en funktion närmar sig vid ett visst värde på x (men aldrig blir samma som!). I matte 4 ska du kunna hitta alla asymptoter till en funktion. Detta kan man enkelt göra genom 2 regler:

1. Vad händer när funktionen närmar sig ett väldigt stort negativt eller positivt tal?
Ex: y = 1/x + 2x har en asymptot som är y = 2x. (då 1/(stort tal)≈0)
2. Vad händer när funktionen närmar sig en division på noll?
Ex 1: y = 1/(x-2) har en asymptot som är x=2.
Ex 2: y= 1/(x²-1) har en asymptot som är x= 1 och en som är x= -1. (nämnaren blir 0 i båda fallen)

Med hjälp av asymptoter kan du enklare rita grafer (som har asymptoter) utan att behöva en grafräknare. (Exempel från youtube här)

Differentialekvationer

Differentialekvationer är ekvationer som beskriver en derivata i förhållande till dess funktion, ex.

$\frac{dy}{dt}= 2y–20$

De vanligaste uppgifterna om differentialekvationer handlar om att bevisa om en differentialekvation (derivata) stämmer överens med dess funktion genom att derivera funktionen. Ex:

Grafiska metoder för Integraler

Ibland går det inte hitta ett exakt värde till en integral, så man måste hitta ett närmevärde för hand istället. Det finns tre olika sätt att göra detta på, där integralen räknas ut genom att räkna ut arean av figurer mellan funktionen och x-axeln:

1. Rektangelmetoden – Rektanglar placerade med en mittpunkt och ända på funktionen.
   
2. Trapetsmetoden – Trapetser placerade med en mittpunkt och ända på funktionen. Oftast en mer exakt metod än de andra, om den går att använda. (Ibland fungerar det lika bra som på bilden, men ibland är kurvan svängig och trapetserna lutning blir lite annorlunda från kurvans)
   
3. Över- och undersumma – Man räknar ut en övre och undre gräns för intervallen genom en metod som liknar rektangelmetoden. (Den första bilden visar undersumman, den andra bilden visar översumman. Notera var rektanglarnas hörn nuddar kurvan.
   

$\mathrm{Undre} \mathrm{summa}<{\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)d\mathrm{x}<\mathrm{Övre} \mathrm{summa}$

Areor mellan kurvor

Med hjälp av integraler kan man räkna ut en area mellan två kurvor. Säg att vi vill räkna ut integralen mellan kurvorna f(x) och g(x):

Då kan vi ta integralen av f(x) och subtrahera integralen av g(x):

$$\begin{gathered} \mathrm{Area} ={\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} –{\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}} \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \mathit{e}\mathit{l}\mathit{l}\mathit{e}\mathit{r}\mathbf{ }{\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathbf{\left(}\mathrm{f}\right(\mathrm{x})–g(x\left)\right)dx \\ \mathrm{Eller} \mathrm{med} \mathrm{andra} \mathrm{ord}: \\ \mathrm{Area} ={\int }_{\mathrm{startpunkt}}^{\mathrm{slutpunkt}}\left(\right(\mathrm{Övre} \mathrm{linje})–(\mathrm{Undre} \mathrm{linje}\left)\right)\mathrm{dx} \end{gathered}$$

Och eftersom integraler blir negativa under x-axeln innebär detta att funktionernas placering på en graf inte spelar någon roll. Dock måste man vara försiktig när man adderar integraler av en funktion som korsar x-axeln, då integraler kan vara negativa men areor inte.

Integraler och Storheter

En viktig applikation av derivata och integraler är med enheter/förändring. Derivatan av en hastighet (m/s) ger accelerationen, m/s² och integralen av m/s ger antal meter. Liknande exempel är: watt = joule/sekund, integralen ger joule.

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy·{\displaystyle m}}{dx·s}=\frac{dy}{dx}·\frac{m}{s}$

För integraler, som använder sig av primitiva funktioner (motsatsen till derivatan), gäller då det motsatta.

Sannolikhetsfördelning

En täthetsfunktion är ett sätt att illustrera sannolikheter på en graf (sannolikhetsfördelning), där mängden area under grafen motsvarar sannolikheten av ett inträffande. Därför är hela grafens integral alltid =1, då hela grafens integral motsvarar 100% sannolikhet. Ett typisk exempel på detta är en normalfördelad kurva:

Totala integralen=1, området -1σ till 0 motsvarar 34.1% av totala arean (0.341 area-enheter). (från matte 2, σ=sigma/standardavvikelse, 0 representerar medelvärdet och kallas för μ=my/medelvärde) .

Formeln för en normalfördelad graf (finns i formelsamling) är denna:

$\frac{1}{\sigma ·\sqrt{2\mathrm{\pi }}}·e^{–\left(\frac{{(x–\mu )}^2}{2{\sigma }^2}\right)}$

(Det är bara att sätta in värdena sigma och my.)

Täthetsfunktioner kan även ta andra former, tex. kan det se ut som en exponentialfunktion. Även för den funktionen gäller regeln för integralen=1.

Rotatationsvolymer

Ett sätt att skapa en volym på en graf är att rotera en funktion runt x-axeln eller y-axeln. Vi kan räkna ut volymen på denna volym genom att använda oss av skivmetoden.

 

Skriftlig förklaring till skivornas volym

Detta ger en volym som kan räknas ut genom formeln:

$$\begin{gathered} \mathrm{Volymen}={\int }_{\mathrm{startpunkt}}^{\mathrm{slutpunkt}}{\mathrm{\pi y}}^2 dx \\ eller \\ \mathrm{V}={\int }_a^b{\mathrm{\pi y}}^2 dx \end{gathered}$$

Om man istället väljer att rotera en graf runt y-axeln blir radien x istället för y, vilket ger formeln:

$\mathrm{V}={\int }_a^b\pi x^2 dy$

(“dy” innebär att du deriverar på exakt samma sätt som med dx, bara att det är x som står ensamt istället för y, exempelvis: x=ay+b, istället för y=ax+b)

Några integralregler

Dessa kan vara bra att kunna för att lösa visa problemlösningsuppgifter.

1. Konstanter kan multipliceras in och ut ur integraler:

$\mathrm{V}={\int }_a^b\pi y^2 dx =\pi ·\left({\int }_a^b{y}^2 dx \right)$

2. Vi kan slå ihop integraler om de har samma start- och slutpunkt:

$$\begin{gathered} V=\left({\int }_a^{b}f\left(x\right) dx \right)+\left({\int }_a^{b}g\left(x\right) dx \right) = {\int }_a^b\left(f\left(x\right) + g\left(x\right)\right) dx \\ eller med subtraktion: \\ V=\left({\int }_a^{b}f\left(x\right) dx \right)–\left({\int }_a^{b}g\left(x\right) dx \right) = {\int }_a^b\left(f\left(x\right) – g\left(x\right)\right) dx \end{gathered}$$

Detta betyder förstås att vi även kan göra detta baklänges och dela upp en integral i två delar.

3. Det finns en till regel men den verkar svår att applicera (onödig), se mer på matteboken.se.

Glöm inte bort att det finns många lärare som går igenom mattekoncept på youtube. Om du inte förstår någonting här kan du alltid googla!