Kapitel 4 – Komplexa tal

I matte 4 fortsätter vi på det vi har lärt oss i matte 2 om det imaginära talet “i” (i²= -1).

Navigering:
• Ett skrivsätt för komplexa tal
• Komplexa tal i ett koordinatsystem
• Komplexa tal i polär form
• Genvägar för det komplexa talplanet
• De Moivres formel
• Komplexa tal i andragradsekvationer
• Liggande stolen och polynomdivision
• Rest- och faktorsatsen
• Polynomekvationer av högre grad

Ett skrivsätt för komplexa tal

Man kan beskriva tal som innehåller ett komplext tal med ekvationen
z= a + bi

“a” motsvarar de reella talen, och kallas realdelen till z. (skrivs som “Re z“)
“b” (som är ett reellt tal) motsvarar antalet imaginära tal, och kallas imaginärdelen till z. (Skrivs som “Im z“)

Exempel

z= 5 + 3i
Re z = 5
Im z = 3

Komplexa tal i ett koordinatsystem

Man kan visualisera komplexa tal genom att rita upp dem i ett koordinatsystem där x-axeln motsvarar de reella talen (a) och y-axeln de imaginära (b).

Om man drar en linje från origo till den punkten z får vi absolutbeloppet av z, vilket vi på talplanet kan se blir:

$|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}} (Pythagoras sats)$

På talplanet kan vi även hitta talet z konjugat (den del som saknas för att uppfylla konjugatregeln).

$z = a + b i \bar{z} = a - b i \bar{z} \cdot z = a^{2} - {(b i)}^{2}$

Detta är bra att veta eftersom att talet som bildas alltid är ett reellt tal. (användbart vid tex. division med komplext tal)

$\bar{z} \cdot z = a^{2} - {(b i)}^{2} = a^{2} + b^{2}$

Konjugatet till z på det komplexa talplanet är z speglad i x-axeln.

Komplexa tal i polär form

Multiplikation och division med “a+bi” blir ibland jobbigt. Därför använder man sig av den polära formen.

$z = r (\cos v + i \cdot \sin v) r = |z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}} v = vinkeln för vektorn till punkt z$

Vinkeln “v” brukar även kallas för argumentet z, och skrivs “arg z”.

1. Multiplikation i polär form följer regeln:

$z_{1} \cdot z_{2} = r_{1} \cdot r_{2} (\cos (v_{1} + v_{2}) + i \cdot \sin (v_{1} + v_{2}))$

…längden av vektorerna multipliceras, och vinklarna adderas.
2. Division i polär form…

$\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} \cdot (\cos (v_{1} - v_{2}) + i \cdot \sin (v_{1} - v_{2}))$

…längden av vektorerna hamnar i division, och vinklarna subtraheras.

(Båda formler finns i formelsamlingen)

Genvägar för det komplexa talplanet

För komplexa tal i en graf finns det två användbara genvägar för multiplikation/division med i.

Multiplikation med i innebär att vektorn vrids 90° moturs (vinkeln ökar med π/2).
Division med i innebär att vektorn vrids 90° medurs (vinkeln minskar med π/2).

De Moivres Formel

Med hjälp av sambanden för multiplikation och division av komplexa tal (i polär form) kan man skriva en generell formel för multiplikation av komplexa tal:

$z^{n} = r^{n} (\cos (nv) + i \cdot \sin (nv)) (n kan vara alla möjliga heltal)$

Med hjälp av de Moivres formel kan vi nu enkelt lösa ekvationen zⁿ = a.

Exempel

$L ö s : z^{3} = 27 i 1 . Vi gör om talet till polär form och jämför med de Moivres formel : z^{3} = 27 i = 27 (\cos (\frac{π}{2}) + i \cdot \sin (\frac{π}{2}) = r^{3} (\cos 3 v + i \cdot \sin 3 v) 2 . Om man jämför ekvationerna ser man att : r^{3} = 27 och 3 v = \frac{π}{2} vilket ger . . . r = 3 och v = \frac{π}{6} + (n \cdot \frac{2 π}{3})$

(Den polära formen av komplexa tal har perioden (n• 2π) som också måste divideras med 3.) För att hitta alla rötter behöver man nu bara sätta in antalet “n” som får plats inom perioden… (i detta fall 3)

$n = 0 ger z_{1} = 3 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6})) n = 1 ger z_{2} = 3 (\cos (\frac{5 π}{6}) + isin (\frac{5 π}{6})) n = 2 ger z_{3} = 3 (\cos (\frac{9 π}{6}) + isin (\frac{9 π}{6})) n = 3 ger v = \frac{13 π}{6} > 2 π$

n=3 är samma sak som n=0 då funktionen har gått ett fullt varv (en period).

Komplexa tal i andragradsekvationer

På grund av att komplexa tal inte riktigt följer lagarna för rottecknet kan vissa andragradsekvationer med komplexa tal inte lösas som vanligt (tex. fungerar Pq-formeln ibland inte). Mer specifikt får talet “q” i andragradsekvationen “x²+px+q” inte vara imaginärt eftersom att det hamnar under rottecknet (“p” får vara imaginärt då det kvadreras, i² =-1). (Tänk på Pq-formeln!)

Det finns två metoder för att lösa dessa speciella andragradsekvationer:

1. Med de Moivres formel

2. Genom att skilja på reella och imaginära delar och skapa ett ekvationsystem från de olika delarna. (Detta sätt blir dock ganska krångligt med flera variabler, så det kan vara bättre att fokusera på metod 1.)

Exempel

Lös x² = 4i

$1 . Vi sätter x = z = a + bi, vilket ger att : x^{2} = {(a + bi)}^{2} = a^{2} + 2 ab i - b^{2} = 4 i 2 . Eftersom att de reella variablerna endast kan bilda reella tal och de imaginära variablerna imaginära tal, får vi ekvationssystemet : a^{2} - b^{2} = 0 2 ab i = 4 i 3 . Ekvationssystemet kan lösas . b = \frac{4}{2 a} a^{2} - b^{2} = a^{2} - \frac{16}{4 a^{2}} = 0 = a^{4} - 4 = 0 a^{2} = \pm 2 4 . Genom att sätta in “ a “ i ekvationssystemet får vi fram “ b “ . a = 2 ger b = 2, a = - 2 ger b = - 2 . 5 . Med “ x = a + b i “ får vi rötterna : x_{1} = 2 + 2 i x_{2} = - 2 - 2 i$

Liggande stolen och polynomdivision

Polynomdivision används för att hitta faktorer till polynom. Tex. är (x+1) en faktor till polynomet x²-1.

För mer avancerade polynom används den liggande stolen:

Se genomgång på Youtube här
(alternativt kan du googla “polynomdivision”)

Rest- och faktorsatsen

Ibland går polynomdivisioner inte jämnt ut och ger en rest. Med siffror och tecken kan rester skrivas såhär (rest=5):

$Dividera polynomet 3 x^{2} + 3 x + 5 med (x + 1) : \frac{3 x^{2} + 3 x + 5}{x + 1} = 3 x + \frac{5}{x + 1} som kan skrivas om till . . . 3 x^{2} + 3 x + 5 = (x + 1) \cdot (3 x) + 5 som kan generaliseras till : f (x) = (x - a) \cdot q (x) + r (där r = rest)$

Med hjälp av det här sambandet kan vi ta fram restsatsen:

$Om vi sätter x = a i sambandet får vi : f (x) = (x - a) \cdot q (x) + r = f (a) = (a - a) \cdot q (x) + r = f (a) = r$

Med andra ord så blir resten vid polynomdivisionen “f(x)/(x-a)” alltid =”f(a)”. Det är ett bra metod för att dubbelkolla sin polynomdivision! (OBS: notera skillnaden mellan (x-a) och (x+a))

Och om resten f(a)= 0 innebär det att (x-a) är en faktor i f(x), vilket ger faktorsatsen:

Polynomet f(x) har faktorn (x-a) om f(a)=0.

Polynomekvationer av högre grad

En lag för polynomekvationer är att en polynomekvation har lika många komplexa rötter som dess grad (reella tal ingår i kategorin komplexa tal). Exempelvis har x³ alltid 3 komplexa rötter. Dock så kan två eller flera rötter vara lika (tänk tex. dubbelrötter i andragradsekvationer)

Alltså har tex. polynomet x¹⁷ + x² alltid minst 17 komplexa rötter.

En annan lag är att icke-reella rötter (rötter med i) alltid förekommer i konjugerande par. Är en rot “5+i” är den andra roten konjugatet till “5+i”, alltså “5-i”.

Notera: Kapitlet om Eulers Formel har skippats. Googla vid intresse :).