Matte 2 – Kapitel 3: Geometri

Geometri är den andra stora delen av Matte 2. Ett stort fokus läggs på vinklar. Uppgifterna handlar mycket om att lista ut vilken lag/område uppgiften handlar om, och sedan använda rätt lag för att lösa uppgiften.

Navigering:
1. Likformighet och Kongruens
2. Vinkelsatser
3. Area- & Volymskala
4. Geometri i koordinatsystem

Likformighet och Kongruens

Med kongruens menas det att två/flera geometriska figurer är exakt likadana, men får vara spegelvända och/eller roterade.

“≅” är tecknet för kongruens.
Ex: ΔABC ≅ ΔDEF = Triangeln ABC är kongruent med Triangeln DEF

Med likformighet menas det att två/flera geometriska figurer ser likadana ut, men får variera i storlek och dessutom vara spegelvända och/eller roterade.

“~” är tecknet för likformighet.
Ex: ΔABC ~ ΔDEF = Triangeln ABC är likformig med Triangeln DEF.
ex med bild.

När figurer är likformiga har varje motsvarande sida i figurerna samma förhållande som alla andra sidor.

---

Vinkelsatser

• Yttervinkelsatsen

Yttervinkelsatsen: y = v+u
Bevis för Yttervinkelsatsen

• Randvinkelsatsen

Randvinkelsatsen: y = 2x

Krav för randvinkelsatsen:

• Vinklarnas cirkelbågar ska dela samma punkter (A & B)
• Vinkeln “y” ska vara en medelpunktsvinkel (börjar vid cirkelns mittpunkt).
• Vinkeln “x” ska sitta på cirkelns kant, men inte inuti “y”s vinkel (mellan A & B).

Bevis för Randvinkelsatsen

• Kordasatsen

 Kordasatsen: a/b = c/d

Bevis för Kordasatsen

• Bisektrissatsen:

Bisektrissatsen: a/b=c/d
(Linjen AD är en bisektris – De två vinklarna vid A är lika stora. Notera att vinklarna vid D INTE alltid är rätvinkliga.)

Bevis för bisektrissatsen

Area- & Volymskala

Area- & Volymskala är ett litet trix som gör det enklare att lista ut förhållandet mellan olika figurers areor och volymer. Ingenting superviktigt, men bra att kunna.

Areaskala = (Längdskala)²
Volymskala = (Längdskala)³

Exempel: Du har två likformiga kuber:

 

$$\begin{gathered} \mathrm{Längdskalan} \mathrm{är} 3:2 (\mathrm{från} \mathrm{stora} \mathrm{till} \mathrm{lilla}) (\frac{4}{6} \mathrm{eller} \frac{2}{3}) \\ \mathrm{Areaskalan} \mathrm{blir} \mathrm{då} 9:4 {\mathrm{eftersom} \mathrm{att}: \left(\frac{2}{3}\right)}^2 = \frac{4}{9} \\ \mathrm{Volymskalan} \mathrm{blir} \mathrm{då} 27:8 \mathrm{eftersom} \mathrm{att}: {\left(\frac{2}{3}\right)}^3 = \frac{8}{27} \end{gathered}$$

 

(Med “areaskala” menas då kubernas totala yta, men det fungerar också på tvådimensionella figurer som tex. kvadrater och cirklar.)

Förklaring

Geometri i Koordinatsystem

Avståndsformeln
En omskrivning av Pythagoras sats. Man klarar sig utan den, men kan ändå vara bra att kunna.

xxx

Mittpunktsformeln
Används när man vill räkna ut mittpunkten på en sträcka i ett koordinatsystem. Man räknar ut det genom att ta medelvärdet på “x” och “y”.

$$\begin{gathered} \mathrm{Mittpunkt} \mathrm{på} \mathrm{x}–\mathrm{axeln} = \frac{({\mathrm{x}}_1+{\mathrm{x}}_2)}{2} \\ \mathrm{Mittpunkt} \mathrm{på} \mathrm{y}–\mathrm{axeln} = \frac{({\mathrm{y}}_1+{\mathrm{y}}_2)}{2} \end{gathered}$$