4.1 Förstå Koncepten

Trigonometri

Navigering:
• Två speciella trianglar
• Cirkelns ekvation
• Enhetscirkeln och trigonometriska samband
• Trigonometriska satser

Två speciella trianglar

Det finns två rätvinkliga trianglar som har bestämda samband mellan deras sidor. Detta ger oss några förutbestämda värden på cos, sin och tan.

	30º	45º	60º
cos v	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
sin v	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\frac{1}{2}$
tan v	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	1	$\sqrt{3}$

Se videoförklaring av “Stina Björnström” på youtube.

Cirkelns ekvation

Man kan rita grafen av en cirkel på ett koordinatsystem genom den allmänna formeln:

(x-x₀)²+(y-y₀)² = r²

• punkten (x,y) är en punkt på cirkeln.
• punkten (x₀,y₀) är cirkelns origo
• r = cirkelns radie

 

Enhetscirkeln och trigonometriska samband
Med hjälp av cirkelns ekvation har man listat ut en mängd samband för cosinus och sinus. Detta görs i ett koordinatsystem med hjälp av en cirkel som har radien 1. De absolut viktigaste sambanden som man ska kunna utantill är:

• • sin (x) = sin (180 – x)
  • cos (x) = – cos (180 – x)
  • tan (x) = – tan (180 -x) (den här är inte lika viktig att komma ihåg)

Vad detta betyder är att en triangel med två lika långa sidor kan se ut på två olika sätt. Den kan ha en vinkel som är “x”, men den kan också ha en vinkel som är “180 – x”. Dock måste vinkelsumman i en triangel alltid vara 180°, så ibland blir det bara en lösning ändå. 

Se förklaring av “Börje Sundvall” på youtube.

Trigonometriska satser

I matte 3c lär man sig tre nya trigonometriska satser: Areasatsen, Sinussatsen och cosinussatsen.

De är alla omskrivningar av redan kända formler för trianglar. “A, B och C” är vinklarna i hörnen av triangeln. “a, b och c” är motstående sidor i triangeln. Sidorna och hörnen är inte bestämda som i pythagoras sats, det spelar alltså ingen roll vilka hörn som kallas A, B och C.

1. Areasatsen är en omskrivning av Arean av en triangel. Den används för att räkna ut arean av en triangel när du inte har höjden av den. (videoförklaring här)

$\mathrm{Areasatsen}=\frac{a\mathit{·}b\mathit{·}\sin \mathit{ }C}{2}=\frac{a\mathit{·}c\mathit{·}\sin \mathit{ }B}{2}=\frac{b\mathit{·}c\mathit{·}\sin \mathit{ }A}{2}$

 

2. Sinussatsen är en omskrivning av Areasatsen. Den används för att räkna ut sidor och vinklar i en triangel. (tex. kan man ta reda på “b” om man vet vad “A, B och a” är.) (videoförklaring här)

$\mathrm{Sinussatsen}=\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}$

 

3. Cosinussatsen är en generell version av Pythagoras sats. Den används för att räkna ut sidor och vinklar i en triangel, precis som sinussatsen. Men den skiljer sig lite. Med cosinussatsen kan du räkna ut vinkeln “A” om du känner till “a, b och c” (videoförklaring här)

$\mathrm{Cossinussatsen}= a^2=b^2+c^2–2bc·\sin A$

Det speciella med de olika satserna är att veta vilken sats man ska använda. Det finns regler för detta, men det kan vara enklare att rita upp triangelns sidor och hörn och försöka se vilken sats man ska använda. (För att ta reda på ett värde får endast en av variablerna vara okända).