Matte 2 – Kapitel 1: Ekvationssystem & Algebra

Det första kapitlet av matte 2 består främst av repetition av matte 1, med några extra saker.

Navigering:
• k-värde eller Riktningskoefficient
• Parallella och Vinkelräta linjer
• K-form och Enpunktsform
• Lösningsmetoder för ekvationssystem
• Olika antal lösningar till ekvationssystem

k-värde eller Riktningskoefficient

(k:et i “y=kx+m”) — Hur mycket x förändras i förhållande till y.

För att ta reda på k-värdet tar man förändringen i y dividerat på förändringen i x. Den formeln kan beskrivas så här:

$k = \frac{F ö r ä n d r i n g i y - l e d}{F ö r ä n d r i n g i x - l e d} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{∆ y}{∆ x}$

Den slutliga formeln (den blåa) kan läsas som: “delta y dividerat på delta x”.
Triangeln (Δ) kallas “delta” och står för förändringen i y eller x.

Parallella och Vinkelräta linjer

För att kunna lösa problem med parallella och Vinkelräta linjer behöver man veta att:

• Parallella linjer har alltid samma k-värde. Exempel

• Produkten av vinkelräta linjers k-värden är alltid -1. Exempel

f(x) = -x-1
g(x) = x+1

k-form och enpunktsform

Räta linjens funktion skriven som “y=kx+m” är skriven i k-form.
Räta linjens funktion skriven i enpunktsform tillåter oss att räkna ut en rät linjes funktion med endast en punkt på grafen och ett k-värde.

En ganska onödig formel som förenklar utan att introducera ny information.

y−y1=k(x−x1)

Lösningsmetoder för ekvationssystem

1. Grafisk lösning
Att sätta in funktionerna i en miniräknare. Kan ibland spara enorma summor av tid på prov och ge lika många poäng som algebraiska lösningar (att räkna ut för hand).

2. Substitutionsmetoden
När man byter ut (substituerar) en variabel mot en annan.

Exempel på Substitutionsmetoden

2x+3y=16
4x−3y=14

1. 3y = 16 − 2x
2. 4x − (16−2x) = 14 ← Substitutionsmetoden
3. 6x − 16 = 14
4. 6x = 30
5. x = 5

Substitutionsmetoden fungerar alltid, men är ibland lite krånglig pga. långa uträkningar.

3. Additionsmetoden
När man lägger ihop ekvationssystemen för att få bort en variabel.

Exempel på Additionsmetoden

2x+3y=16
4x−3y=14

2x + 4x + 3y − 3y = 16+14 ← Additionsmetoden
6x = 30
x = 5

Additionsmetoden kan ibland vara mycket snabbare än substitutionsmetoden, och ibland långsammare. Beror på uppgiften.

Olika antal lösningar till ekvationssystem

Ekvationssystem kan ha olika många lösningar (skärningspunkter). För linjära funktioner finns det 3 olika alternativ.

1. En lösning/skärningspunkt
y = x + 1
y = -x – 1
Exempelbild

Ekvationssystemet har en lösning. “x” = 0 (Ekvationssystemen korsar varandra och har en skärningspunkt)

2. Saknar lösning/skärningspunkt
y = x + 1
y = x – 1
Exempelbild

Ekvationssystemet har ingen lösning eftersom att x ≠ x – 2 (ekvationssystemen är parallella. inga skärningspunkter.)

Oändligt många lösningar

y = x + 2
2y = 2x + 4

Exempelbild

Lösningen till ekvationssystemet är att x = x. “x” kan alltså vara vad som helst. (ekvationssystemen är likadana, oändligt många skärningspunkter.)