2.1 Förstå Koncepten

Derivata – (Kapitel 2 in a nutshell.)

Använd navigeringen för att hoppa till en underrubrik. Om du endast vill repetera kunskaper kan du skippa drop-down-menyerna (exempelvis)

Rolig matteförklaring

Navigering:
• Introduktion till konstiga grafer och begrepp
• Gränsvärde
• Derivatans definition
• Derivatan av polynom
• Derivatan av potensfunktioner
• Talet e och den naturliga logaritmen
• Derivatan av exponentialfunktioner
• Derivatan på grafräknaren

Grafer

• Sekant = En rät linje som korsar två punkter i en funktion. (Används för att tex. räkna ut medelhastigheter mellan två tidspunkter)
• Tangent = En rät linje som korsar en punkt i en funktion. (med samma lutning som funktion i just den punkten)
• Derivata = En funktion som tar fram lutningen (k-värde/riktningskoefficient) på alla möjliga tangenter till en funktion. Derivatan av f(x) = f'(x). (uttalas f prim x.)
• Ändringskvot, förändringskvot eller differenskvot = K-värdet för en sekant.

Gränsvärde

Gränsvärde används främst för att ta fram derivatans definition (kommer sedan). Men den kan även användas för att lösa vissa uppgifter. Gränsvärde betyder att en variabel går så nära ett tal som möjligt — tex. 0, 3 eller ∞. Gränsvärde visas genom “lim x → (ett tal)”. Med “lim” menas gränsvärde, och x → (ett tal) menas att talet “x” går mot “ett tal”.

Med hjälp av gränsvärde kan vi anta att talet “x” är så nära talet det gränsar, att det är samma tal. Och med lim x → ∞ kan vi även stryka vissa tal. Se NP ht 2012:

Derivatans Definition

Hur man kommer fram till derivatans definition.

Derivata är som sagt k-värdet av en tangent till en funktion, eller k-värdet i en viss punkt på en funktion. Och vi vet från Matte 1 att vi kan räkna ut k-värdet (riktningskoefficienten) på en rät funktion genom Δy/Δx.
Problemet är att vi inte kan räkna ut riktningskoefficienten när x och y inte förändras. Δy/Δx = 0/0. Och detta går inte, eftersom en division av 0 bryter mot matematikens lagar.

Lösning är att vi låtsas som att tangenten är en sekant, fast sekantens två punkter nästan ligger mitt på varandra. Och ju närmare dessa två punkter ligger varandra, desto mer börjar de likna den ursprungliga tangenten. Därmed får vi ett resultat som är så precist som möjligt, utan att behöva dividera med 0. Resultatet blir att vi får en formel som kallas “Derivatans definition”.

$Vi vet att : Riktningskoefficienten för en rät linje är = \frac{∆ y}{∆ x} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} Vi försöker ta reda på derivatan för funktionen f (x) . Vi kallar skillnaden mellan de två närliggande punkterna för “ h “ . Den första punkten blir då (x_{1}, y_{1}), eller (x_{1}, f (x)) Den andra punkten blir då (x_{2}, y_{2}) eller ((x + h), f (x + h)) Då får vi : \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{f (x + h) - f (x)}{x + h - x} = \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Som sagt, så blir resultatet mer exakt ju mindre “h” är. Så för att få ett så exakt resultat som möjligt, så låtsas vi att h är så extremt nära 0 att “h” nästan är = 0. Det skrivs så här:

Derivatans definition:

$f ‘ (x) = \lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Bra att veta:
• Närmevärde = när man sätter in ett värde istället för “h” för att få ett resultat så nära som möjligt. (Man räknar ut en sekant med liknande lutning som tangenten)
• Derivatan av en rät linjes funktion alltid är lika stor för alla punkter, eftersom att alla tangenter för en rät funktion är likadana.
• Konstanter (vanliga tal som inte förändras) påverkar inte derivatans funktion. Tex: “m” i y=kx+m. Detta är eftersom att konstanter alltid tar bort sig själva i derivatans definition. Exempel

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{(k (x + h) + m) - (kx + m)}{h} = \frac{kh + (kx + m) - (k x + m)}{h} = \frac{kh}{h} = k$

Konstanten “m” tar ut sig själv och derivatan blir “k” eftersom att f(x) = kx+m är funktionen av en rät linje.

Varför använder vi derivatans definition?

Det som är speciellt med derivatans definition är att vi vet att h är så extremt litet, att det inte påverkar ekvationens resultat. Enda anledningen för att “h” finns kvar är så att vi inte dividerar med 0. Så om vi lyckas få ut “h” ur nämnaren kan vi bara byta ut det mot 0. Exempelvis:

Vi vill räkna ut derivatan på funktionen f(x) = x² + x
Vi sätter in funktionen i derivatans definition:

$\lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{({(x + h)}^{2} + x + h) - (x^{2} - x)}{h} = \frac{({(x^{2} + 2 xh + h}^{2}) + h) - (x^{2})}{h} = \frac{(2 xh + h^{2} + h)}{h} = \frac{h (2 x + h + 1)}{h}$

Här faktoriserar vi ut “h” ur ekvationen så att vi kan lösa ut “h” ur nämnaren. I uppgifter om derivatans definition ska man kunna lösa ut “h” på något sätt

$\frac{h (2 x + h + 1)}{h} = 2 x + h + 1 = 2 x + 1$

Vi vet att “h” nästan är 0. Därför blir svaret f ‘(x)= 2x+1

Derivatan av polynom

Problemet med derivatans definition är att det kan ta väldigt lång tid att skriva in stora funktioner, speciellt stora polynom. Lösningen på detta är att det finns en allmän formel, en genväg, till att derivera polynom. Det finns inget bevis, men vi vet att det fungerar.

Funktionen: f(x)	Derivatan: f'(x)
x	1
x^2	2x
x^3	3x^2
x^4	4x^3
x^5	5x^4

$Mönstret för deriveringen av polynom är att x^{n} \to n \cdot x^{n - 1} Tex : x^{27} \to 27 x^{26} Tex : x \to 1 \cdot x^{0} \to 1 Tex : 5 x^{7} \to 7 \cdot 5 x^{6} \to 35 x^{6}$

En viktigt regel att kunna är att funktioner kan deriveras term för term. Exempelvis:

$f (x) = 5 x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 3 f ‘ (x) = 15 x^{2} + 4 x + 4 + 0$

Derivatan av potensfunktioner

Regeln för att derivera polynom fungerar även för andra potenser. Med hjälp av potenslagarna går det alltså att derivera saker ganska enkelt. Tex.

$\frac{1}{x} = x^{- 1}, eller \sqrt{x} = x^{0.5}, eller \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{- 0.5}$

Talet e och den naturliga logaritmen

$Derivatan av funktionen f (x) = e^{x} är : f ‘ (x) = e^{x} Grafens ekvation och derivatans definition är alltså detsamma . Detta gäller endast för ett tal, \det irrationella (oändliga) talet e \approx 2.71 Också användbart för derivatan av : g (x) = e^{kx} . g ‘ (x) = k \cdot e^{kx}$
Den naturliga logaritmen är logaritmen med e som talbas. (“ln” på en grafräknare) $\lg = \log_{10} = logaritm med 10 - talbas . \ln = \log_{e} = logaritm med e - talbas$
Vi använder “e” för att det är enkelt att derivera exponentialfunktioner med “e” (se nedan).

Derivata av exponentialfunktioner

Derivatan av exponentialfunktioner har också en regel/genväg som gör saker enklare, men den är lite krånglig.
$Du ska derivera f (x) = e^{kx} Regeln för derivering är : f ‘ (x) = k \cdot e^{kx}$ (Videoförklaring här)
$Du ska derivera f (x) = a^{kx} Regeln för derivering är : f ‘ (x) = k \cdot \ln (a) \cdot a^{kx} Om du ska derivera tex . f (x) = 5 \cdot e^{kx} eller g (x) = 5 \cdot a^{kx} Blir derivatan bara : f ‘ (x) = 5 \cdot k \cdot e^{kx} respektive g ‘ (x) = 5 \cdot \ln (a) \cdot a^{kx}$
(Videoförklaring här)

Derivata på grafräknaren

Man kan även räkna ut derivatan på grafräknaren. För en grafräknare från Texas industries (till exempel: TI-82, TI-84) finns det två sätt:

Skriv in din graf i grafräknaren genom (y=) knappen.
Tryck på knapparna (2nd) + (Trace)
Scrolla ner och välj “6. dy/dx”
Skriv in det värdet på “x” som du vill hitta derivatan till.

Ett annat alternativ utan att behöva knappa in en graf är:

Tryck på knappen (MATH)
Scrolla ner till valet “nDeriv(“
En figur lik den här borde komma upp:
$\frac{d}{d []} [] = []$
4. Knappa in värdena i ordningen: (x,T,Θ,n) + funktion + värdet av x