5.3 Typiska Uppgifter

Här kommer några typiska A-uppgifter som brukar komma på de flesta Nationella Prov. Större delen av uppgifterna är tagna från äldre nationella prov. Dessa uppgifter använder sig av en annan läroplan (G, VG, MVG), men innehållet är liknande. Glöm inte bort att det här främst är typiska A-uppgifter. C och E uppgifter kräver ibland andra kunskaper. Se “Förstå Koncepten” för varje kapitel i Matte 3c eller gå igenom de nyaste NP från 2012 och 2013.

Derivata

Du borde vara medveten om vad derivatan av en funktion innebär: Förändringen av någonting. (viktig E-kunskap)

Uppgift 17. NP vt 2013

Uppgift 17 NP vt 2013 Svar taget från NP vt 2013

En väldigt typisk sorts A-uppgift för derivata är att kostnaden av ett material anges och att du ska lista hur man kan få den största arean/volymen. (Dock brukar oftast behöva lista ut formeln för arean först). Dessa uppgifter kan ofta kräva att du bedömer extrempunktens karaktär genom andraderivata och att du dessutom undersöker värden på intervallerna. (tex. vid 10<x30 undersöker du x=10 och x=30)

Uppgift 13. NP vt 2011

(Facit och lösningsexempel här)

Uppgift 16. NP vt 2003 (svårare uppgift med lösning.)

Tryck här för Uppgift 16 NP vt 2003

Lösning

exempel

Arean av rektangeln = 20 = x · y.
För att använda så lite glas som möjligt tar vi fram arean av glaset vi har använt. Notera att glaset är lite längre än hyllplanet då det sticker ut på sidorna (se bilden)
Arean av sidorna: 2(x · 0,8) (det finns två glassidor)
Arean av längden: (y + 0,012) · 0,8
Funktionen av totalt glas använt är båda areorna tillsammans:
f(x) = (y + 0,012) · 0,8 + 2(x · 0,8) = (y + 0,012 + 2x) · 0,8
Vi vill använda så lite glas som möjligt, därmed den minsta arean. Vi ska därför använda första- och andraderivata för att ta fram en min-punkt. Men först måste vi substituera “y”. Vi vill bara ha en okänd variabel.

$x \cdot y = 20 \to y = \frac{20}{x} f (x) = (\frac{20}{x} + 0, 012 + 2 x) \cdot (0, 8) f ‘ (x) = (\frac{- 20}{x^{2}} + 2) \cdot (0, 8) Extrempunkt vid f ‘ (x) = 0 . 0 = (\frac{- 20}{x^{2}} + 2) \cdot (0, 8) = - 20 + 2 x^{2} = x^{2} - 10 = 0 x = \pm \sqrt{10} (Avstånd kan inte vara negativa) Bestäm extrempunktens karaktär genom andraderivata : f ‘ ‘ (\sqrt{10}) \approx 1 . (Positivt värde på f ‘ ‘ (x) innebär \min - punkt)$

Därefter kan vi bara sätta in x i (20 = x · y). Vi får svaret:
Bredden 3,2 dm och längden 6,3 dm ger den minsta arean för glaset.
(Inte nödvändigtvis redovisat på en A-nivå)

En annan uppgift som är viktig att kunna är om sammanbandet mellan en funktion och dess derivata, andraderivata och primitiva funktion. (Typiskt krav för NP).

Uppgift 8. NP vt 2007

(Ingen miniräknare tillåten)

Uppgift 8 NP vt 2007

Lösningsförslag

Svaret ska motiveras genom att titta på när derivatan av funktionen korsar x-axeln, och punkterna innan det. Rätt svar är a): B och b): A. (Lösningsexempel här)

Du ska även kunna derivera en funktion genom derivatans definition.

Uppgift 16. NP ht 2012

(Ingen miniräknare tillåten) Uppgift 16 NP ht 2012

Lösningsförslag taget från NP ht 2012

En annan mindre testad kunskap men ändå ganska vanligt krav är att du ska förstå att det största/ minsta värdet i ett intervall inte alltid är vid extrempunkterna.

Uppgift 17. NP ht 2009

(Lösningsförslag/Svar här)

Du ska känna till att derivatan i en viss punkt är tangenten till den punkten. (exempeluppgiften är en fortsättning på det konstaterandet)

Uppgift 16. NP vt 2013 (lite svårare)

(Ingen miniräknare tillåten)

Uppgift 16 NP vt 2013

Lösningsförslag/svar taget direkt från NP vt 2013

Integraler

Du ska förstå att integralen är arean mellan funktionen och x-axeln. Därför kan integralen ibland vara negativ, även om area inte kan vara det.

Uppgift 9. NP ht 2007

Eftersom att integraler handlar om “arean under en graf” är det väldigt vanligt att A-uppgifter innehåller geometri.

Uppgift 17. NP vt 2005 (utmaningsfråga)

(Svar och Lösningsförslag här)

Trigonometri

Du ska förstå att sinus (x) och cosinus (x) kan ha två olika lösningar. (varför då?)

Uppgift 17. NP vt 2011

Uppgift 17 NP vt 2011

(Lösningsförslag här)

En klassisk uppgift för Trigonometri i matte 3c är med area-, sinus- och/eller cosinussatserna. Dessa brukar oftast kräva minst två steg där man använder sig av flera satser. Trigonometri brukar oftast endast testas på en C-nivå.

Uppgift 14. NP vt 2011

Uppgift 14 NP vt 2011

Svar

AB är 340m

Länk till bedömningsanvisning.

Enhetscirkeln

Enhetscirkeln är inget svårt koncept att förstå. Det är en cirkel med radien = 1. Dock kan uppgifter gällande enhetscirkeln förekomma:

Uppgift 23. NP vt 2013

Uppgift 23 NP vt 2013

Lösningsförslag/Svar

Uppgift 23 NP vt 2013

Dessa är de vanligaste A-frågorna som kan komma på NP. För fler A-frågor är det rekommenderat att göra de nyaste nationella proven från 2012 och 2013 (här) i en miljö som liknar provmiljön i skolan. För flera A-frågor från gamla NP kan du titta igenom det här google dokumentet (av Susanne Tegler). Om du fortfarande känner att du inte förstår finns det en ideell förening som håller gratis räknestugor varje Måndag-Torsdag (Mattecentrum.se).